高一数学集合及其运算(高一数学集合知识点总结)-ag8亚洲国际集团

1.高一数学集合知识点总结

一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

①.元素的确定性； ②.元素的互异性； ③.元素的无序性

说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的分类：

1.有限集 含有有限个元素的集合

2.无限集 含有无限个元素的集合

3.空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5}

4、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合：a={我校的篮球队员}b={12345}

2.集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：n

正整数集 n*或 n 整数集z 有理数集q 实数集r

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合a的元素，就说a属于集合a 记作 a∈a ，相反，a不属于集合a 记作 a?a

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?r| x-3>2}或{x| x-3>2}

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系子集

注意： 有两种可能（1）a是b的一部分，；（2）a与b是同一集合。

反之： 集合a不包含于集合b或集合b不包含集合a记作a b或b a

2. 不含任何元素的集合叫做空集，记为φ

规定： 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

3.“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）

实例：设 a={x|x2-1=0} b={-11} “元素相同”

结论：对于两个集合a与b，如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，同时集合b的任何一个元素都是集合a的元素，我们就说集合a等于集合b，即：a=b

① 任何一个集合是它本身的子集。a?a

②真子集：如果a?b且a? b那就说集合a是集合b的真子集，记作a b（或b a）

③如果 a?b b?c 那么 a?c

④ 如果a?b 同时 b?a 那么a=b

三、集合的运算

1、并集的定义：一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做ab的并集。记作：a∪b（读作”a并b”），即a∪b={x|x∈a，或x∈b}.

2.交集的定义：一般地，由所有属于a且属于b的元素所组成的集合叫做ab的交集.

记作a∩b（读作”a交b”），即a∩b={x|x∈a，且x∈b}.

3、全集与补集

(1)补集：设s是一个集合，a是s的一个子集（即 ），由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集a的补集（或余集）

记作： csa 即 csa ={x ? x?s且 x?a}

(2)全集：如果集合s含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用u来表示。

(3)性质：⑴cu(c ua)=a ⑵（c ua）∩a=φ ⑶（cua）∪a=u

4、交集与并集的性质：a∩a = a a∩φ= φ a∩b = b∩a,a∪a = a

a∪φ= a a∪b = b∪a

2.高一数学集合的基本运算

1.解：∵（cu a）∩b={2}，所以2^2 5*2 q=0解得q=-14，所以b={x|x²5x q=0}={xix^2 5x-14=0}={2,-7}；因为}（cu b）∩a={4}，所以4^2 4p 12=0，解得p=-7，所以a={x|x² px 12=0}={xix^2-7x 12=0}={3,4}，所以a∪b={2,3,4,-7}2.题意不清晰3.解；因为集合u={2,4,a²-a 1},a={a 1,2}，所以若当a 1=4，则a=3，所以a²-a 1=7，所以u={2,4,a²-a 1}={2,4,7},a={a 1,2}={4,2},cu a={7}，；若a^2-a 1=a 1，解得a=0或2，当a=0时，u={2,4,a²-a 1}={2,4,1}，不合cu a={7}；当a=2时，u={2,4,a²-a 1}={2,4,3}，不合cu a={7}；所以综上所述a=3;4.a={x|x²=px 1=0,x∈r}，若a∩{x|x>0}=空集，那么a=∅，则x² px 1=0，△=p^-4x1*x2=1，说明两根同号，所以x1 x2=-p0，同时，△=p^-4≥0,p≥2或p≤-2，所以p≥2；所以综上所述：p>-2。

3.高一数学必修一集合在知识总结

集合具有某种特定性质的事物的总体。

这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如： 1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急~。

2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的~。

3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。

康托（cantor, g.f.p.,1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。集合，在数学上是一个基础概念。

什么叫基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。

集合 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体（或称为单体），这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素（或简称为元）。

元素与集合的关系 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号 ，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做φ。

空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。

子集，真子集都具有传递性。 『说明一下：如果集合 a 的所有元素同时都是集合 b 的元素，则 a 称作是 b 的子集，写作 a ? b。

若 a 是 b 的子集，且 a 不等于 b，则 a 称作是 b 的真子集，一般写作 a ? b。 中学教材课本里将 ？ 符号下加了一个 ≠ 符号（如右图）， 不要混淆，考试时还是要以课本为准。

所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合的几种运算法则 并集：以属于a或属于b的元素为元素的集合称为a与b的并（集），记作a∪b（或b∪a），读作“a并b”（或“b并a”），即a∪b={x|x∈a，或x∈b} 交集： 以属于a且属于b的元 差集表示 素为元素的集合称为a与b的交（集），记作a∩b（或b∩a），读作“a交b”（或“b交a”），即a∩b={x|x∈a，且x∈b} 例如，全集u={1,2,3,4,5} a={1,3,5} b={1,2,5} 。

那么因为a和b中都有1,5，所以a∩b={1,5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。

那么说a∪b={1,2,3,5}。 图中的阴影部分就是a∩b。

有趣的是；例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。结果是3,5,7每项减 集合1再相乘。

48个。 对称差集： 设a,b 为集合，a与b的对称差集aåb定义为： aåb=(a-b)∪（b-a） 例如：a={a,b,c},b={b,d}，则aåb={a,c,d} 对称差运算的另一种定义是： aåb=(a∪b)-(a∩b) 无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 有限集：令n*是正整数的全体，且n_n={1,2,3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合a与n_n一一对应，那么a叫做有限集合。

差：以属于a而不属于b的元素为元素的集合称为a与b的差（集）。记作：a\b={x│x∈a,x不属于b}。

注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”. 补集：是从差集中引出的概念，指属于全集u不属于集合a的元素组成的集合称为集合a的补集，记作cua，即cua={x|x∈u，且x不属于a} 空集也被认为是有限集合。 例如，全集u={1,2,3,4,5} 而a={1,2,5} 那么全集有而a中没有的3,4就是cua，是a的补集。

cua={3,4}。 在信息技术当中，常常把cua写成~a。

集合元素的性质 1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。

2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。

如写成{1,1,2}，等同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。

4.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。 5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。

集合a={x|x<2}，集合a 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。 6.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合a中，这就是集合完备性。

完备性与纯粹性是遥相呼应的。集合有以下性质 若a包含于b，则a∩b=a,a∪b=b 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：a,b,c…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。

将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：a={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。 1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。

{1,2,3，……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|p}(x为该集合的元素的一般形式，p为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实。

4.高一数学中关于集合的知识

集合 1. 研究集合必须注意集合元素的特征即三性（确定，互异，无序）； 已知集合a={x,xy,lgxy}，集合b={0,|x|,y}，且a=b，则x y= 2. 研究集合，首先必须弄清代表元素，才能理解集合的意义。

已知集合m={y|y=x2 ,x∈r},n={y|y=x2 1,x∈r}，求m∩n；与集合m={(x,y)|y=x2 ,x∈r},n={(x,y)|y=x2 1,x∈r}求m∩n的区别。 3. 集合 a、b，时，你是否注意到“极端”情况：或；求集合的子集时是否忘记. 例如：对一切恒成立，求a的取植范围，你讨论了a=2的情况了吗？ 4. 对于含有n个元素的有限集合m， 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足条件的集合m共有多少个 5. 解集合问题的基本工具是韦恩图； 某文艺小组共有10名成员，每人至少会唱歌和跳舞中的一项，其中7人会唱歌跳舞5人会，现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目，问有多少种不同的选法？ 6. 两集合之间的关系。

7. (cua)∩（ cu b） =cu(a∪b) (cua)∪（ cub） = cu(a∩b);;。

5.高一数学必修一集合在知识总结

集合集合具有某种特定性质的事物的总体。

这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如： 1、分散的人或事物聚集到一起；使聚集：紧急~。

2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的~。

3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。

康托（cantor, g.f.p.,1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。集合，在数学上是一个基础概念。

什么叫基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。

集合集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体（或称为单体），这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素（或简称为元）。

元素与集合的关系 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做φ。

空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。

子集，真子集都具有传递性。 『说明一下：如果集合 a 的所有元素同时都是集合 b 的元素，则 a 称作是 b 的子集，写作 a ? b。

若 a 是 b 的子集，且 a 不等于 b，则 a 称作是 b 的真子集，一般写作 a ? b。 中学教材课本里将 ？ 符号下加了一个 ≠ 符号（如右图）， 不要混淆，考试时还是要以课本为准。

所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』集合的几种运算法则 并集：以属于a或属于b的元素为元素的集合称为a与b的并（集），记作a∪b（或b∪a），读作“a并b”（或“b并a”），即a∪b={x|x∈a，或x∈b} 交集： 以属于a且属于b的元 差集表示素为元素的集合称为a与b的交（集），记作a∩b（或b∩a），读作“a交b”（或“b交a”），即a∩b={x|x∈a，且x∈b} 例如，全集u={1,2,3,4,5} a={1,3,5} b={1,2,5} 。

那么因为a和b中都有1,5，所以a∩b={1,5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。

那么说a∪b={1,2,3,5}。 图中的阴影部分就是a∩b。

有趣的是；例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个。结果是3,5,7每项减 集合1再相乘。

48个。 对称差集： 设a,b 为集合，a与b的对称差集aåb定义为： aåb=(a-b)∪（b-a） 例如：a={a,b,c},b={b,d}，则aåb={a,c,d} 对称差运算的另一种定义是： aåb=(a∪b)-(a∩b) 无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 有限集：令n*是正整数的全体，且n_n={1,2,3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合a与n_n一一对应，那么a叫做有限集合。

差：以属于a而不属于b的元素为元素的集合称为a与b的差（集）。记作：a\b={x│x∈a,x不属于b}。

注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”. 补集：是从差集中引出的概念，指属于全集u不属于集合a的元素组成的集合称为集合a的补集，记作cua，即cua={x|x∈u，且x不属于a} 空集也被认为是有限集合。 例如，全集u={1,2,3,4,5} 而a={1,2,5} 那么全集有而a中没有的3,4就是cua，是a的补集。

cua={3,4}。 在信息技术当中，常常把cua写成~a。

集合元素的性质 1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。

2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。

如写成{1,1,2}，等同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。

4.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。 5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。

集合a={x|x<2}，集合a 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。 6.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合a中，这就是集合完备性。

完备性与纯粹性是遥相呼应的。集合有以下性质 若a包含于b，则a∩b=a,a∪b=b集合的表示方法集合常用大写拉丁字母来表示，如：a,b,c…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。

将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：a={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。 1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。

{1,2,3，……} 2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|p}(x为该集合的元素的一般形式，p为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合。

6.高一数学集合的基本运算

1.解：∵（cu a）∩b={2}，所以2^2 5*2 q=0解得q=-14，所以b={x|x²5x q=0}={xix^2 5x-14=0}={2,-7};

因为}（cu b）∩a={4}，所以4^2 4p 12=0，解得p=-7，所以

a={x|x² px 12=0}={xix^2-7x 12=0}={3,4}，所以

a∪b={2,3,4,-7}

2.题意不清晰

3.解；因为集合u={2,4,a²-a 1},a={a 1,2}，所以若当a 1=4，则a=3，所以a²-a 1=7，所以u={2,4,a²-a 1}={2,4,7},a={a 1,2}={4,2},cu a={7},;

若a^2-a 1=a 1，解得a=0或2，当a=0时，u={2,4,a²-a 1}={2,4,1}，不合cu a={7};

当a=2时，u={2,4,a²-a 1}={2,4,3}，不合cu a={7};

所以综上所述a=3;

4.a={x|x²=px 1=0,x∈r}，若a∩{x|x>0}=空集，那么a=∅，则x² px 1=0，△=p^-4x1*x2=1，说明两根同号，所以x1 x2=-p0，同时，△=p^-4≥0,p≥2或p≤-2，所以

p≥2；所以

综上所述：p>-2